Сложение и вычитание дробей

Оглавление

Дробь. Понятие дроби
Наибольший общий делитель и наименьшее обшее кратное одночленов
Основное свойство дроби
Умножение и деление дробей
Сложение и вычитание дробей
Возведение дроби в степень

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сумму числителей этих дробей записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

То есть

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c},$

где $c \ne 0.$

Доказательство. Пусть $\frac{a}{c} = x,$ $\frac{b}{c} = y.$ Тогда $a = cx,$ $b = cy$ и

$a + b = cx + cy = c(x + y).$

Отсюда следует, что $x + y = \frac{a + b}{c}.$ Получили, что

$x + y = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}, \qquad x + y = \frac{a + b}{c}.$

Следовательно,

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}.$

Пример 1. Сложить дроби $\frac{11a - 4b}{6a}$ и $-\frac{5a + 2b}{6a}.$

Решение.

$\frac{11a - 4b}{6a} - \frac{5a + 2b}{6a} = \frac{(11a - 4b) - (5a + 2b)}{6a} =$

$= \frac{11a - 4b - 5a - 2b}{6a} = \frac{6a - 6b}{6a} = \frac{a - b}{a}.$

Если знаменатели дробей не равны друг другу, то перед сложением эти дроби приводят к общему знаменателю.

Пусть, например, нужно вычислить сумму дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}.$ Так как $\frac{a}{b} = \frac{ad}{bd},$ а $\frac{c}{d} = \frac{bc}{bd},$ то

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}.$

Здесь в качестве общего знаменателя мы взяли произведение знаменателей $bd.$ Обычно же в качестве общего знаменателя берут наименьшее общее кратное знаменателей.