Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сумму числителей этих дробей записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

То есть

    \[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c},\]

где c \ne 0.

Доказательство. Пусть \frac{a}{c} = x, \frac{b}{c} = y. Тогда a = cx, b = cy и

    \[a + b = cx + cy = c(x + y).\]

Отсюда следует, что x + y = \frac{a + b}{c}. Получили, что

    \[x + y = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}, \qquad x + y = \frac{a + b}{c}.\]

Следовательно,

    \[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}.\]

Пример 1. Сложить дроби \frac{11a - 4b}{6a} и -\frac{5a + 2b}{6a}.

Решение.

    \[\frac{11a - 4b}{6a} - \frac{5a + 2b}{6a} = \frac{(11a - 4b) - (5a + 2b)}{6a} = \]

    \[ = \frac{11a - 4b - 5a - 2b}{6a} = \frac{6a - 6b}{6a} = \frac{a - b}{a}.\]

Если знаменатели дробей не равны друг другу, то перед сложением эти дроби приводят к общему знаменателю.

Пусть, например, нужно вычислить сумму дробей \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Так как \frac{a}{b} = \frac{ad}{bd}, а \frac{c}{d} = \frac{bc}{bd}, то

    \[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}.\]

Здесь в качестве общего знаменателя мы взяли произведение знаменателей bd. Обычно же в качестве общего знаменателя берут наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример 2. Найти разность

    \[\frac{4(a - 1)}{ac} - \frac{2a + 3c}{2bc}.\]

Решение. Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей равно 2abc.

2abc : ac = 2b, поэтому числитель и знаменатель первой дроби мы домножаем на 2b.

2abc : 2bc = a, следовательно, числитель и знаменатель второй дроби домножим на a.

    \[\frac{4(a - 1)}{ac} - \frac{2a + 3c}{2bc} = \frac{4(a - 1)\cdot 2b}{ac \cdot 2b} - \frac{(2a + 3c)\cdot a}{2bc \cdot a} = \]

    \[\frac{8b(a - 1) - a(2a + 3c)}{2abc} = \frac{8ab - 8b - 2a^2 + 3ac}{2abc}.\]

← назад | далее →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 + 7 =