Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов

Одночленом в алгебре называют произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, возведённых в неотрицательные степени. Например, выражения 2a^3b, 2x^4z^3 являются одночленами.

Говорят, что один одночлен делится на другой, если в результате деления получается одночлен. Например, одночлен 3a делится на a, но не делится на a^2, так как \frac{3a}{a^2} = \frac{3}{a} = 3a^{-1} — в результате деления получается выражение, не являющееся одночленом.

Наибольший общий делитель двух одночленов

Одночлены 3a^3b^2 и 2ab^3 делятся на одночлен ab. Дейсвительно, 3a^3b^2 = ab \cdot 3a^2b, а 2ab^3 = ab\cdot 2b^2. Поэтому ab называют общим делителем одночленов 3a^3b^2 и 2ab^3.

Определение. Общий делитель двух одночленов, содержащий каждую из переменных в наивысшей возможной степени, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих одночленов.
Для того, чтобы найти НОД двух одночленов, нужно выбрать перменные, входящие в оба одночлена, затем выбрать наименьшие показатели степени, с которыми эти переменные входят в одночлены, и составить произведение переменных в этих степенях.
Пример 1. Найдём наибольший общий делитель одночленов 2a^4bc^2 и 3a^3b^5.

Решение. В оба одночлена входят переменные a и b. В одночлен 2a^4bc^2 переменная a входит с показателем 4, а в одночлен 3a^3b^5 — с показателем 3. Поэтому в НОД переменная a входит с показателем степени 3.

В одночлен 2a^4bc^2 переменная b входит с показателем степени 1, а в одночлен 3a^3b^5 — с показателем 5. Поэтому в НОД переменная b входит с показателем степени 5.

Таким образом, наибольший общий делитель для одночленов 2a^4bc^2 и 3a^3b^5 равен a^3b. Записывают: НОД(2a^4bc^2, 3a^3b^5) = a^3b.

Примечание: наибольшими общими делителями одночленов 2a^4bc^2 и 3a^3b^5 также являются одночлены 2a^3b, \frac{1}{3}a^3b и т.д. То есть наибольший общий делитель двух одночленов определён с точностью до коэффициента.

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Одночлен 2a^3bc^2 делится на одночлены 3ac и a^2bc:

    \[2a^3bc^2 : 3ac = \frac{2}{3}a^2bc, \qquad 2a^3bc^2 : a^2bc = 2ac.\]

Поэтому одночлен 2a^3bc^2 называется общим кратным одночленов 3ac и a^2bc.

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) двух одночленов называется общее кратное этих одночленов, которое содержит каждую из переменных в наименьшей возможной степени.
Для того, чтобы найти НОК двух одночленов, нужно взять все перменные, входящие в эти одночлены, затем выбрать наибольшие показатели степени, с которыми эти переменные входят в одночлены, и составить произведение переменных в этих степенях.
Пример 2. Найдём наименьшее общее кратное 2a^4bc^2 и 3a^3b^5.

Решение: В одночлены входят переменные a, b, c. Наибольшая степень переменной a равна 4, переменной b5, пременной c2. Поэтому наименьшим общим кратным этих одночленов является одночлен a^4b^5c^2.

Наименьшее общее кратное также определено с точностью до коэффициента.

← назад | далее →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

13 + 4 =