Умножение и деление дробей

Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

Это правило записывается так:

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd},\]

если b \ne 0, d \ne 0.

Доказательство. Пусть \frac{a}{b} = x и \frac{c}{d} = y. Тогда справедливы равенства a = bx и c = dy. Если их перемножить, то получим

    \[ac = (bx)\cdot(dy) = (bd)\cdot(xy).\]

Поделив это уравнение на bd (bd \ne 0), приходим к формуле xy = \frac{ac}{bd}.

Так как xy = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} и xy = \frac{ac}{bd}, то

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.\]

Пример 1. Умножить дроби \frac{12ac}{5bd} и \frac{3bx}{8cy}.

Решение.

    \[\frac{12ac}{5bd} \cdot \frac{3bx}{8cy} = \frac{12ac \cdot 3bx}{5bd \cdot 8cy} = \frac{36abcx}{40bcdy}.\]

Дробь можно сократить на 4bc. Получаем ответ

    \[\frac{9ax}{10dy}.\]

Пример 2. Найти произведение дробей \frac{a}{b} и \frac{b}{a}.

Решение.

    \[frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = \frac{1}{1} = 1.\]

Дроби \frac{a}{b} и \frac{b}{a} называются обратными друг другу. Их произведение равно 1.

Деление дробей

Пусть частное от деления дроби \frac{a}{b} на дробь \frac{c}{d} равно x. Тогда по определению частного верно равенство

    \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \cdot x.\]

Найдём это x. Для этого умножим обе части этого равенства на дробь \frac{d}{c}. Получим

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \left(\frac{c}{d} \cdot x\right)\cdot \frac{d}{c} = \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}\right)\cdot x = 1\cdot x = x.\]

То есть

    \[x = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.\]

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Пример 3. Найти частное от деления дроби \frac{7ac}{9bd} на дробь \frac{2cy}{3dx}.

Решение.

    \[\frac{7ac}{9bd}:\frac{2cy}{3dx} = \frac{7ac}{9bd}\cdot\frac{3dx}{2cy} = \frac{21acdx}{18bcdy}.\]

После сокращения на 3cd получаем ответ

    \[\frac{7ac}{9bd}:\frac{2cy}{3dx} = \frac{7ax}{6by}.\]

← назад | далее →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

18 + 2 =