Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма всех цифр этого числа делится на 3.
Например, число 12345 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 и 15 делится на 3, а число 392 на 3 не делится, так как 3 + 9 + 2 = 14 и 14 не делится на 3.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма всех цифр этого числа делится на 9.
Например, число 477 делится на 9, так как 4 + 7 + 7 = 18 и 18 делится на 9, а число 120121 — не делится, так как 1 + 2 + 0 + 1 + 2 + 1 = 7 и 7 не делится на 9.
Доказательство этих утверждений смотрите в этой статье.