Признаки делимости чисел

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.

Таблица признаков делимости чисел

 Число n Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
 2 Последняя цифра числа a делится на 2
 3 Сумма цифр числа a делится на 3
 4 Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
 5 Число a оканчивается цифрой 0 или 5
 6 Число a делится на 2 и на 3
 7 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа a делится на 7
 8 Число, составленное из трёх последних цифр числа a, делится на 8
 9 Сумма цифр числа a делится на 9
 10 Число a оканчивается цифрой 0
 11 Знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
 12 Число a делится на 3 и на 4
 13 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* a делится на 13
 25 Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0, \]

где a_n, a_{n-1},\ldots , a_2, a_1, a_0 — цифры этого числа, 0 \leq a_i \leq 9.

Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

 Если то a делится на
 a_0 (последняя цифра числа) делится на 2 или 5 2 или 5 соответственно
 \overline{a_{1}a_{0} } (число, составленное из двух последних цифр числа a) делится на 4 или 25 4 или 25 соответственно
 \overline{ a_{2}a_{1}a_{0} } (число, составленное из трёх последних цифр числа a) делится на 8 8
 a_0 равно 0 10

Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25.Распишем число так:

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} =  \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots 00} + \overline{a_{1} a_{0}} = 100\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}} + \overline{a_{1} a_{0}}.\]

Число 100 делится на 25, поэтому если число \overline{a_{1} a_{0}} делится на 25, то и \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.

Признаки делимости по сумме цифр

 Если то a делится на
 Сумма цифр числа a делится на 3 или 9 3 или 9 соответственно
 Знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11 11

Докажем признаки делимости на 3 и 9.

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0}=10^n a_n+ 10^{n-1} a_{n-1} + \ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0=\]

    \[=\left(\underbrace{99\ldots 9}_n a_n + \underbrace{99\ldots 9}_{n-1} a_{n-1} + \ldots + 99a_2+9a_1\right) + \]

    \[+\left(a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0\right)=\]

    \[=9\cdot\left(\underbrace{11\ldots 1}_n a_n + \underbrace{11\ldots 1}_{n-1} a_{n-1} + \ldots + 11a_2+a_1\right) + \]

    \[+\left(a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0\right).\]

Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0 делится на 3 или 9 соответственно.

Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида 10^{2n-1} + 1, то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:

    \[100001 = 99990 + 11=99000 + 990 + 11=11\cdot(9000+90+1).\]

Число \overline{a_n a_{n-1}\ldots a_2a_1a_0} распишем следующим образом:

    \[\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_2a_1a_0}=a_0 + \left(11a_1-a_1\right)+ \left(99a_2+a_2\right)+ \left(1001a_3-a_3\right)+\ldots=\]

    \[= \left(11a_1+99a_2 + 1001a_3 + \ldots\right) + \left(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots\right).\]

Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа a.

Признаки делимости по сумме граней

Введём такое определение:

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

 Если то a делится на
 Сумма двузначных граней делится на 11 11
 Сумма трёхзначных граней делится на 37 37
 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13 7, 11, 13 соответственно

Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней

    \[\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_2a_1a_0}= \overline{a_1a_0}+100 \overline{a_3a_2} + 10000\overline{a_6a_5}+\ldots=\]

    \[=\left(99\overline{a_3a_2} + 9999\overline{a_6a_5} + \ldots \right) + \left(\overline{a_1a_0} +  \overline{a_3a_2} + \overline{a_6a_5} + \ldots\right). \]

В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Остальные признаки доказываются аналогично.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

9 − 7 =