Основные формулы тригонометрии

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

trig

Синус угла \alpha (обозначается \sin\alpha) – ордината точки P_{\alpha}, полученной поворотом точки P(1; 0) вокруг начала координат на угол \alpha.

Косинус угла \alpha (обозначается \cos\alpha) – абсцисса точки P_{\alpha}, полученной поворотом точки P(1; 0) вокруг начала координат на угол \alpha.

Тангенс угла \alpha (обозначается \operatorname{tg}\alpha) – отношение синуса угла \alpha к его косинусу, то есть

    \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

Котангенс угла \alpha (обозначается \operatorname{ctg}\alpha) – отношение косинуса угла \alpha к его синусу, то есть

    \[\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Основное тригонометрическое тождество

    \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.\]

Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом

    \[\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1,\]

    \[1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha},\]

    \[1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}.\]

Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.

Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента \alpha:

    \[\cos(-\alpha) = \cos\alpha,\]

    \[\sin(-\alpha) = -\sin\alpha,\]

    \[\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha,\]

    \[\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha.\]

Синус и косинус – периодические с периодом 2\pi функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом \pi функции:

    \[\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha,\]

    \[\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha,\]

    \[\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}\alpha,\]

    \[\operatorname{ctg}(\alpha + \pi) = \operatorname{ctg}\alpha.\]

Число 2\pi является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число \pi – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса.

Для любого целого n справедливы равенства

    \[\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin\alpha,\]

    \[\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos\alpha,\]

    \[\operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}\alpha,\]

    \[\operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}\alpha.\]

Формулы сложения

    \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,\]

    \[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta,\]

    \[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,\]

    \[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,\]

    \[\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta},\]

    \[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.\]

Формулы двойного и тройного аргумента

    \[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha},\]

    \[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha},\]

    \[\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}},\]

    \[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha},\]

    \[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha},\]

    \[\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}.\]

Формулы понижения степени

    \[\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2},\]

    \[\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}.\]

Формулы приведения

    \[\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\]

    \[\sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha,\qquad\sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha,\]

    \[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,\qquad\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\]

    \[\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha,\qquad\cos\left(\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha.\]

Формулы суммы и разности синусов

    \[\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2},\]

    \[\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}.\]

Формулы суммы и разности косинусов

    \[\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2},\]

    \[\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}.\]

Формулы суммы и разности тангенсов

    \[\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta},\]

    \[\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}.\]

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность)

    \[\sin\alpha\cos\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2},\]

    \[\cos\alpha\cos\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2},\]

    \[\sin\alpha\sin\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}.\]

Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента

    \[\sin\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}},\]

    \[\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}.\]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

девятнадцать + семнадцать =