Признаки делимости на 7

Признак делимости на 7. Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7.

Этот признак можно применять к числу рекурсивно несколько раз подряд, пока число не станет достаточно маленьким. Поэтому этот признак называется рекурсивным признаком делимости на 7.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 364 б) 411 в) 31815

Решение: а) 364. Число 364 без последней цифры — 36, удвоенная последняя цифра 4\cdot 2 = 8. Разность 36 − 8 = 21, а число 21, как мы отлично знаем, делится на 7. Поэтому и число 364 делится на 7.

б) 411. Число 411 без последней цифры — 41, удвоенная последняя цифра — 2. Разность 41 − 2 = 39, а число 39 на 7 не делится. Поэтому 411 не делится на 7.

в) 31815. Так как число большое, то в этом примере придётся применять правило несколько раз:

  • 3181 − 10 = 3171
  • 317 − 2 = 315
  • 31 − 10 = 21

Применив рекурсивно правило три раза, получили число 21. Число 21 делится на 7, поэтому и число 31815 делится на 7.

Доказательство. Пусть n — число, которое мы хотим проверить на делимость на 7. Покажем, что если n делится на 7, то и выражение

    \[\frac{n - (n \bmod 10)}{10} - 2 \cdot (n \bmod 10)\]

делится на 7. В этом выражении \mod — операция взятия остатка от деления.

Распишем выражение выше:

    \[\frac{n - (n \bmod 10)}{10} - 2 \cdot (n \bmod 10) = \]

    \[=\frac{n - (n \bmod 10) - 20 \cdot (n \bmod 10)}{10} = \]

    \[=\frac{n - 21 \cdot (n \bmod 10)}{10}.\]

Число 10 в знаменателе на 7 не делится, поэтому будем рассматривать только числитель. Так как слагаемое 21\cdot(n \bmod 10) в числителе делится на 7 (число 21 делится на 7), то всё выражение делится на 7 тогда и только тогда, когда число n делится на 7.

Признак делимости на 7 по сумме граней

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Признак делимости на 7. Число делится на 7, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 7.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 626647 б) 23013 в) 99148

Решение: а) 626647. Разбиение этого числа на трёхзначные грани выглядит так: 626|647. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 626 − 647 = −21. Так как −21 делится на 7, то и число 626647 делится на 7. Ответ: делится.

б) 23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не делится.

в) 99148. Разбиваем число на трёхзначные грани: 99|148. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 99 − 148 = −49. Число −49 делится на 7, поэтому и число 99148 делится на 7. Ответ: делится.

Доказательство этого признака смотрите в общей статье про признаки делимости.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × четыре =