Признак делимости на 13

Прежде, чем сформулировать признак делимости на 13, дадим такое простое определение:

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Признак делимости на 13. Число делится на 13, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример: проверить, делятся ли на 13 числа а) 433407 б) 66199 в) 1231321.

Решение: а) 433407. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 433|407. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней равна 433 − 407 = 26 — делится на 13. Следовательно, число 433407 делится на 13. Ответ: делится.

б) 66199. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 66|199. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней равна 66 − 199 = −133. Число −133 на 13 не делится. Действительно, −133 = −130 − 3 = −13 ⋅ 10 − 3. Поэтому 66199 не делится на 13. Ответ: не делится.

в) 1231321. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 1|231|321. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 231 + 321 = 91. Число 91 делится на 13: 91 = 7 ⋅ 13. Поэтому число 1231321 делится на 13. Ответ: делится.

Доказательство признака делимости на 13 основывается на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство признаков делимости смотрите в большой статье о признаках делимости.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

10 − восемь =