Логарифмы и их свойства

Логарифмом числа b, где b > 0, по основанию a, где a > 0, a \ne 1 (обозначается \log_a b), называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b, т.е.

    \[a^{\log_a{b}} = b.\]

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа a по основанию 10 называют десятичным и обозначают \lg a, а логарифм числа a по основанию e называют натуральным и обозначают \ln a.

Свойства логарифмов

Если a > 0, a \ne 1, b > 0, c > 0, r \in \mathbb R, то

    \[\log_a{bc} = \log_a{b} + \log_a{c},\]

    \[\log_a{\frac{b}{c}} = \log_a{b} - \log_a{c},\]

    \[\log_a{b^r} = r\log_a{b}.\]

Формула перехода к новому основанию.

Если a > 0, b > 0, a \ne 1, c > 0, c \ne 1, то

    \[\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.\]

Эта формула называется формулой перехода от логарифма по основанию a к логарифму по основанию c. Частные случаи формулы перехода:

    \[\log_a{b} = \frac{1}{\log_b{a}},\]

    \[a > 0, a \ne 1, b > 0, b \ne 1.\]

А также:

    \[\log_{a^\alpha}{b^\beta} = \frac{\beta}{\alpha}\log_a{b},\]

    \[a > 0, a \ne 1, b > 0, \alpha \ne 0.\]

2 ответа к “Логарифмы и их свойства”

Ошибочка в третьем свойстве логарифма: в правой части равенства не хватает множителя r.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 − десять =