От натуральных чисел к комплексным
Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида то есть те числа, которые используются человеком для счёта. В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел. Чтобы этого избежать, были придуманы целые числа и рациональные числа.
Потребность измерять величины и проводить операции вроде извлечения корня привела к расширению множества рациональных чисел — к нему добавились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе образовали множество действительных чисел.
Наконец, желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел.
Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.
Множество комплексных чисел обычно обозначается (от слова complex).
Введём понятие равенства и операции сложения и умножения для комплексных чисел.
Обычно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего (пишут
). При этом число
называется действительной частью числа
и обозначается
(от слова real); пишут
или
. Число
называется мнимой частью числа
и обозначается
(от слова imagine); пишут
.
Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел: любое действительное число можно представить в виде . Числа вида
называются чисто мнимыми и обозначаются
.
Пользуясь формулой (2), найдём
То есть
Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, так как она легко получается, если в произведении двучленов и
заменить
по формуле (3) на
:
Решение. Пользуясь формулой (1), находим сумму:
Учитывая, что , находим произведение:
Свойства операций над комплексными числами
- Коммутативность сложения:
для любых комплексных чисел
и
.
- Ассоциативность сложения:
для любых комплексных чисел
,
и
.
для любого комплексного числа
.
- Для любых комплексных чисел
и
существует комплексное число
такое, что
. Это число
называется разностью комплексных чисел
и
и обозначается
.
- Коммутативность умножения:
для любых комплексных чисел
и
.
- Ассоциативность умножения:
для любых комплексных чисел
,
и
.
- Закон дистрибутивности:
для любых комплексных чисел
,
и
.
для любого комплексного числа
.
- Для любых двух комплексных чисел
и
,
, существует число
такое, что
. Это число
называется частным комплексных чисел
и
и обозначается
.
Все эти свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Докажем здесь свойство 9.
Пусть ,
,
(неравенство числа
нулю означает, что хотя бы одно из чисел
и
не равно нулю),
. Тогда равенство
записывается так:
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что числа
и
удовлетворяют системе уравнений:
Эта система уравнений имеет единственное решение
то есть
(4)
Эту формулу можно не запоминать. Далее мы покажем более простой способ нахождения частного двух комплексных чисел.
Произведение комплексных чисел — всегда действительное число, большее нуля. Действительно, пусть
, тогда
Заметим, что .
Покажем теперь простой способ для нахождения частного двух комплексных чисел.
Здесь мы умножили числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В результате в знаменателе получилось действительное число.
Решение. Находим разность:
Частное находим, домножая числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю: