Разность квадратов

Умножим выражение $a + b$ на $a - b$ :

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2.$

То есть справедливо равенство

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.$

Это тождество называют формулой разности квадратов. Говорят: произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

Пример 1. Разложить на множители выражение $16a^2 - 25b^2.$

Решение. Так как $16a^2 = (4a)^2,$ а $25b^2 = (5b)^2,$ то по формуле разности квадратов получаем

$16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a + 5b)(4a - 5b).$

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении $(3x + 10y)(3x - 10y).$

Решение. По формуле разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.$ В данном случае $a = 3x,$ а $b = 10y.$ Поэтому

$(3x + 10y)(3x - 10y) = (3x)^2 - (10y)^2 = 9x^2 - 100y^2.$

Пример 3. Найти произведение $3{,}6\cdot 4{,}4.$

Решение. Заметим, что $3{,}6 = 4 - 0{,}4,$ а $4{,}4 = 4 + 0{,}4.$ Тогда

$3{,}6\cdot 4{,}4 = (4 - 0{,}4)(4 + 0{,}4) = 4^2 - 0{,}4^2 = 16 - 0{,}16 = 15{,}84.$

Пример 4. Решить уравнение $9x^2 - 16 = 0.$

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4) = 0.$

Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Поэтому либо $3x + 4 = 0,$ либо $3x - 4 = 0.$ Отсюда находим $x_1 = -\frac{4}{3},$ $x_2 = \frac{4}{3}.$

Добавить комментарий Отменить ответ