Разность квадратов

Умножим выражение a + b на a - b:

    \[(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2.\]

То есть справедливо равенство

    \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.\]

Это тождество называют формулой разности квадратов. Говорят: произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.
Пример 1. Разложить на множители выражение 16a^2 - 25b^2.

Решение. Так как 16a^2 = (4a)^2, а 25b^2 = (5b)^2, то по формуле разности квадратов получаем

    \[16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a + 5b)(4a - 5b).\]

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении (3x + 10y)(3x - 10y).

Решение. По формуле разности квадратов (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. В данном случае a = 3x, а b = 10y. Поэтому

    \[(3x + 10y)(3x - 10y) = (3x)^2 - (10y)^2 = 9x^2 - 100y^2.\]

Пример 3. Найти произведение 3{,}6\cdot 4{,}4.

Решение. Заметим, что 3{,}6 = 4 - 0{,}4, а 4{,}4 = 4 + 0{,}4. Тогда

    \[3{,}6\cdot 4{,}4 = (4 - 0{,}4)(4 + 0{,}4) = 4^2 - 0{,}4^2 = 16 - 0{,}16 = 15{,}84.\]

Пример 4. Решить уравнение 9x^2 - 16 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

    \[9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4) = 0.\]

Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Поэтому либо 3x + 4 = 0, либо 3x - 4 = 0. Отсюда находим x_1 = -\frac{4}{3}, x_2 = \frac{4}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 + одиннадцать =