Разложение на множители суммы и разности степеней

Для любого натурального числа $n$ верно равенство

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + a^{n-k}b^{k-1} + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}).$

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, раскроем скобки и приведём подобные члены. Получим

$(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}) =$

$=a^n - \underline{a^{n-1}b} + \underline{a^{n-1}b} - a^{n-2}b^2 + \ldots + a^2b^{n-2} - ab^{n-1} + ab^{n-1} - b^n.$

При раскрытии скобок вслед за произведением каждого слагаемого на $a$ мы записывали его произведение на $-b.$ После приведения подобных слагаемых в сумме останутся только первое и последнее слагаемое, то есть $a^n - b^n.$