Изучаем математику вместе!

Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Возведём выражение $a + b$ в квадрат:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

То есть

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Это равенство называют формулой квадрата суммы.

Говорят: квадрат суммы двух выражений есть сумма квадратов этих выражений плюс их удвоенное произведение.

Квадрат разности

Возведём в квадрат выражение $a - b$ :

$(a - b)^2 = a^2 - ab - ba + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

То есть

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

Это тождество называют формулой квадрата разности.

Читают: квадрат разности двух выражений есть сумма квадратов этих выражений минус их удвоенное проиведение.

Заметим, что формулу квадрата разности можно было получить из формулы квадрата суммы заменой $b$ на $-b.$

Пример 1. Представить выражение $(3x + 2y)^2$ в виде многочлена.

Решение. Пользуясь формулой квадрата суммы (здесь $a = 3x,$ $b = 2y$ ), получаем

$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2.$

Пример 2. Представить выражение $(5x - y)^2$ в виде многочлена.

Решение. Применяя формулу квадрата разности (здесь $a = 5x,$ $b = y$ ), находим

$(5x - y)^2 = (5x)^2 - 2\cdot 5x\cdot y + y^2 = 25x^2 - 10xy + y^2.$

Пример 3. Представить многочлен $16x^2 + 40x + 25$ в виде квадрата двучлена.

Решение. Поскольку $16x^2 = (4x)^2$ и $25 = 5^2,$ то

$16x^2 + 40x + 25 = (4x)^2 + 40x + 5^2.$

Так как $40x = 2\cdot 4x \cdot 5,$ то по формуле квадрата суммы получаем

$16x^2 + 40x + 25 = (4x)^2 + 2\cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = (4x + 5)^2.$

Пример 4. Найти значения выражений $41^2$ и $3{,}9^2$ .

Решение. Пользуясь формулой квадрата суммы, получаем

$41^2 = (40 + 1)^2 = 40^2 + 2\cdot 40 + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681.$

Так как $3{,}9^2 = (4 - 0{,}1)^2,$ то применяя формулу квадрата разности, находим

$3{,}9^2 = (4 - 0{,}1)^2 = 4^2 - 2\cdot 4\cdot0{,}1 + 0{,}1^2 =$

$= 16 - 0{,}8 + 0{,}01 = 15{,}21.$

2 ответа к “Квадрат суммы и разности”

Можете пожалуйста добавить ещё одну формулу СУ || a в квадрате — b в квадрате=(a-b) (a+b) ||

Олеся, добрый день! Эта формула есть в отдельной статье — разность квадратов. Возможно, нам стоит в этой статье добавить на неё ссылку.
Также есть общая статья по всем формулам сокращённого умножения.

Добавить комментарий для Андрей Отменить ответ