Куб суммы и разности

Куб суммы

Распишем выражение (a + b)^3 в виде многочлена:

    \[(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = \]

    \[= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]

Итак, получили формулу куба суммы:

    \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности

Найдём, как расписывается выражение (a - b)^3. Для этого заменим в формуле куба суммы b на -b:

    \[(a - b)^3 = (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = \]

    \[= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Итак, получили формулу куба разности:

    \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Пример 1. Представить в виде многочлена выражение (2x^2 - 3y)^3.

Решение. По формуле куба разности

    \[(2x^2 - 3y)^3 = (2x^2)^3 - 3(2x^2)^2(3y) + 3(2x^2)(3y)^2 - (3y)^3 = \]

    \[=8x^6 - 3 \cdot 4x^4\cdot 3y + 3 \cdot 2x^2\cdot 9y^2 - 27y^3 = 8x^6 - 36x^4y + 54x^2y^2 - 27y^3.\]

2 ответа к “Куб суммы и разности”

Вы решили пример неправильно! Забыли утроить второе и третье выражение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

12 + семь =