Изучаем математику вместе!

Логарифмы и их свойства

Логарифмом числа $b$ , где $b > 0$ , по основанию $a$ , где $a > 0, a \ne 1$ (обозначается $\log_a b$ ), называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$ , чтобы получить число $b$ , т.е.

$a^{\log_a{b}} = b.$

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа $a$ по основанию 10 называют десятичным и обозначают $\lg a$ , а логарифм числа $a$ по основанию $e$ называют натуральным и обозначают $\ln a$ .

Свойства логарифмов

Если $a > 0, a \ne 1, b > 0, c > 0, r \in \mathbb R$ , то

$\log_a{bc} = \log_a{b} + \log_a{c},$

$\log_a{\frac{b}{c}} = \log_a{b} - \log_a{c},$

$\log_a{b^r} = r\log_a{b}.$

Формула перехода к новому основанию.

Если $a > 0, b > 0, a \ne 1, c > 0, c \ne 1$ , то

$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.$

Эта формула называется формулой перехода от логарифма по основанию $a$ к логарифму по основанию $c$ . Частные случаи формулы перехода:

$\log_a{b} = \frac{1}{\log_b{a}},$

$a > 0, a \ne 1, b > 0, b \ne 1.$

А также:

$\log_{a^\alpha}{b^\beta} = \frac{\beta}{\alpha}\log_a{b},$

$a > 0, a \ne 1, b > 0, \alpha \ne 0.$

2 ответа к “Логарифмы и их свойства”

Ошибочка в третьем свойстве логарифма: в правой части равенства не хватает множителя r.

Артур, спасибо за внимательность! Ошибка исправлена 😉 .

Добавить комментарий Отменить ответ