Комплексные числа

От натуральных чисел к комплексным

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида $1, 2, 3, \ldots,$ то есть те числа, которые используются человеком для счёта. В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел. Чтобы этого избежать, были придуманы целые числа и рациональные числа.

Потребность измерять величины и проводить операции вроде извлечения корня привела к расширению множества рациональных чисел — к нему добавились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе образовали множество действительных чисел.

Наконец, желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел.

Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Определение. Комплексными числами называются выражения вида $a+bi$ , в которых $a$ и $b$ — некоторые действительные числа, а $i$ — символ, называемый мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обычно обозначается $\mathbb{C}$ (от слова complex).
Введём понятие равенства и операции сложения и умножения для комплексных чисел.

Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ равны тогда и только тогда, когда $a = c$ и $b = d$ .
Суммой комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называется число
(1) $\begin{equation*} a + c + (b + d)i. \end{equation*}$
Произведением комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называется число
(2) $\begin{equation*} ac - bd + (ad + bc)i.\end{equation*}$

Обычно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего $z$ (пишут $z = a+bi$ ). При этом число $a$ называется действительной частью числа $z = a + bi$ и обозначается $\operatorname{Re}z$ (от слова real); пишут $\operatorname{Re}z = a$ или $\operatorname{Re}(a + bi) = a$ . Число $b$ называется мнимой частью числа $z$ и обозначается $\operatorname{Im}z$ (от слова imagine); пишут $\operatorname{Im}z = \operatorname{Im}(a+bi) = b$ .

Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел: любое действительное число можно представить в виде $a = a + 0i$ . Числа вида $0 + bi$ называются чисто мнимыми и обозначаются $bi$ .

Пользуясь формулой (2), найдём

$i^2 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = -1 + 0i = -1.$

То есть

(3) $\begin{equation*} i^2 = -1.\end{equation*}$

Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, так как она легко получается, если в произведении двучленов $a + bi$ и $c + di$ заменить $i^2$ по формуле (3) на $-1$ :

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc)i.$

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел $z_1 = 7 + 3i$ и $z_2 = 3 - 2i.$
Решение. Пользуясь формулой (1), находим сумму:

$z_1 + z_2 = (7 + 3i) + (3 - 2i) = (7 + 3) + (3 - 2)i = 10 + i.$

Учитывая, что $i^2 = -1$ , находим произведение:

$z_1 z_2 = (7 + 3i)(3 - 2i) = 21 - 14i + 9i - 6i^2 =$

$=21 - 14i + 9i + 6 = 27 - 5i.$

Свойства операций над комплексными числами

Коммутативность сложения: $z_1+z_2 = z_2 + z_1$ для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ .
Ассоциативность сложения: $(z_1+z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ для любых комплексных чисел $z_1$ , $z_2$ и $z_3$ .
$z + 0 = z$ для любого комплексного числа $z$ .
Для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ существует комплексное число $z$ такое, что $z_1 + z = z_2$ . Это число $z$ называется разностью комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ и обозначается $z_2 - z_1$ .
Коммутативность умножения: $z_1z_2 = z_2z_1$ для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ .
Ассоциативность умножения: $(z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3)$ для любых комплексных чисел $z_1$ , $z_2$ и $z_3$ .
Закон дистрибутивности: $z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$ для любых комплексных чисел $z_1$ , $z_2$ и $z_3$ .
$1\cdot z = z$ для любого комплексного числа $z$ .
Для любых двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ , $z_2 \ne 0$ , существует число $z$ такое, что $z_2z = z_1$ . Это число $z$ называется частным комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ и обозначается $\frac{z_1}{z_2}$ .

Все эти свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Докажем здесь свойство 9.

Пусть $z_1 = a + bi$ , $z_2 = c + di$ , $z_2 \ne 0$ (неравенство числа $z_2$ нулю означает, что хотя бы одно из чисел $c$ и $d$ не равно нулю), $z = x + iy$ . Тогда равенство $zz_2 = z_1$ записывается так: $a + bi = (x + iy)(c + di) = xc - yd + (xd + yc)i.$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют системе уравнений:

$\left\{\begin{array}{ll} cx - dy = a,\\ dx + cy = b. \end{array} \right.$

Эта система уравнений имеет единственное решение

$x = \frac{ac + bd}{c^2+d^2}, \qquad y = \frac{bc - ad}{c^2 + d^2},$

то есть

(4) $\begin{equation*} \frac{z_1}{z_2}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} i.\end{equation*}$

Эту формулу можно не запоминать. Далее мы покажем более простой способ нахождения частного двух комплексных чисел.

Определение. Пусть задано комплексное число $z = a+bi$ . Число $a - bi$ называется комплексно сопряжённым числу $z$ и обозначается $\overline{z}$ .

Произведение комплексных чисел $z\overline{z}$ — всегда действительное число, большее нуля. Действительно, пусть $z = a + bi$ , тогда

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi + b^2 = a^2 + b^2.$

Определение. Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется действительное число, равное $|z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Заметим, что $|z| = |\overline{z}|$ .

Покажем теперь простой способ для нахождения частного двух комплексных чисел.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}, \qquad z_2 \ne 0.$

Здесь мы умножили числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В результате в знаменателе получилось действительное число.