Уравнение плоскости

Определение. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости.

Уравнения плоскости в координатной форме

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

    \[Ax + By + Cz + D = 0, \qquad (A^2 + B^2 + C^2) \ne 0,\]

при этом вектор с координатами (A, B, C) является нормальным вектором к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно получить, если решить систему уравнений

    \begin{equation*} \begin{cases} Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0,\\ Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0,\\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0. \end{cases} \end{equation*}

Здесь (x_0, y_0, z_0), (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2) — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

Решение. Составляем систему уравнений

    \begin{equation*} \begin{cases} A + 0B + 0C + D = 0,\\ 0A + B + 0C + D = 0,\\ 0A + 0B + C + D = 0. \end{cases} \end{equation*}

Числа A, B, C выражаем через D:

    \begin{equation*} \begin{cases} A = -D,\\ B = -D,\\ C = -D. \end{cases} \end{equation*}

Получаем уравнение плоскости

    \[-Dx - Dy - Dz + D = 0,\]

или, после сокращения на -D,

    \[x + y + z - 1 = 0.\]

Параметрические уравнения плоскости:

    \[x = x_0 + \alpha_1 u + \alpha_2 v, \quad y = y_0 + \beta_1 u + \beta_2 v, \quad z = z_0 + \gamma_1 u + \gamma_2 v.\]

Здесь (x_0, y_0, z_0) — некоторая точка плоскости, (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) и  (\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) — координаты направляющих веторов плоскости, u, v — параметры.

Уравнения плоскости в векторном виде

 Векторное параметрическое уравнение плоскости:

    \[\textbf{r} =  \textbf{r}_0 +  \textbf{a}u +  \textbf{b}v, \quad ([\textbf{a},  \textbf{b}] \ne  \textbf{0}),\]

где \textbf{a}, \textbf{b} — направляющие векторы плоскости, \textbf{r}_0 — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

    \[(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{a}, \textbf{b}) = 0.\]

То есть для того, чтобы вектор \textbf{r} был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора \textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{a} и \textbf{b} лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.

Нормальное векторное уравнение плоскости:

    \[(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{n}) = 0, \qquad (\textbf{n} \ne 0),\]

где \textbf{n} — нормальный вектор плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

    \[(\textbf{r}, \textbf{n}) = D, \qquad (\textbf{n} \ne 0).\]

Если вектор \textbf{n} — единичный (его длина равна 1), то величина D есть расстояние от точки O до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки с радиус-векторами \textbf{r}_0, \textbf{r}_1 и \textbf{r}_2 можно записать в векторном виде:

    \[(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{r}_1 - \textbf{r}_0, \textbf{r}_2 - \textbf{r}_0) = 0.\]

Если радиус векторы \textbf{r}, \textbf{r}_0, \textbf{r}_1, \textbf{r}_2 имеют соответственно координаты (x, y, z), (x_0, y_0, z_0), (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), то в координатной форме это уравнение запишется так:

    \[\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ x_1 - x_0 & y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\ x_2 - x_0 & y_2 - y_0 & z_2 - z_0 \end{vmatrix} = 0.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − 1 =