Геометрическая прогрессия

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

    \[b_{n+1} = b_n \cdot q.\]

Примеры геометрических прогрессий.

  1. Последовательность 1, 2, 4, 8, 16, \ldots — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2.
  2. Последовательность 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots — геометрическая прогрессия со знаменателем q = \frac{1}{3}.
  3. Последовательность 4, -2, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots — геометрическая прогрессия со знаменателем q = -\frac{1}{2}.

Теорема 1. Пусть b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots — геометрическая прогрессия со знаменателем q. Тогда для всех натуральных n справедлива формула

    \[b_n = b_1\cdot q^{n-1}.\]

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

    \[b_n = b_{n-1}q = b_{n-2}q^2 = \ldots = b_1q^{n-1}.\]

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

    \[b_n = b_1\cdot q^{n-1}.\]

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

    \[b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\]

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

    \[b_n = b_{n-1}\cdot q, \qquad b_{n+1} = b_n \cdot q.\]

Следовательно,

    \[\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q,\]

откуда

    \[b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\]

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности \{b_n\}, начиная со второго, выполняется равенство b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}, то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

    \begin{equation*} \begin{cases} b_1 + b_3 = 10, \\ b_2 + b_4 = 30. \end{cases} \end{equation*}

Выразим члены геометрической прогрессии через b_1 и q: b_2 = b_1q, b_3 = b_1q^2, b_4 = b_1q^3. Тогда система запишется в виде

    \begin{equation*} \begin{cases} b_1 + b_1q^2 = 10, \\ b_1q + b_1q^3 = 30. \end{cases} \end{equation*}

Разделив второе уравнение системы на первое, получим q = 3. Следовательно, b_1 = 1.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots , знаменатель которой q \ne 0:

(1)   \begin{equation*}S_n= b_1 + b_2 + \ldots + b_n.\end{equation*}

Умножим это равенство на q:

    \[S_n q = b_1q + b_2q + \ldots + b_nq\]

или

(2)   \begin{equation*}S_n q = b_2 + b_3 + \ldots + b_{n+1}.\end{equation*}

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим S_n q - S_n = b_{n+1} - b_1. Отсюда, так как q \ne 1, имеем

    \[S_n = \frac{b_{n+1} - b_1}{q - 1},\]

или

(3)   \begin{equation*}S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}.\end{equation*}

Так как b_n = b_1q^{n-1}, то формулу (3) можно переписать в виде

(4)   \begin{equation*}S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\end{equation*}

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

    \[1, 2, 2^2, 2^3, \ldots , 2^{63}.\]

По формуле (3) получаем

    \[S = \frac{2^{63}\cdot 2 - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = \]

    \[= 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615.\]

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию \{b_1q^{n-1}\}. Если её знаменатель |q| < 1, то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

(5)   \begin{equation*}S = \frac{b_1}{1 - q}.\end{equation*}

Пример 3. Найдём сумму

    \[S = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots.\]

Решение. S — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b_1 = \frac{1}{2} и знаменателем q = -\frac{1}{2}. По формуле (5) получаем

    \[S = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}.\]

То есть S = \frac{1}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 × пять =