Последовательности

Определение. Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число x. Это значит, что на множестве натуральных чисел \mathbb{N} задана числовая функция x = x(n). Эту функцию называют бесконечной числовой последовательностью. Аргумент n этой функции чаще всего записывают в виде индекса, т. е. вместо x(n) обычно пишут x_n, а саму последовательность обозначают \{x_n\}.

Последовательность может быть задана не на всём множестве \mathbb{N}, а на некотором его конечном подмножестве. В этом случае последовательность называют конечной числовой последовательностью.

Приведём примеры последовательностей.

  1. -1; 1; -1; 1; … (то есть x_n = (-1)^n);
  2. 1; 4; 9; 16; … (то есть x_n = n^2);
  3. Последовательность, n-й член которой равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа \frac{8}{33};
  4. Последовательность, n-й член которой равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа \pi;
  5. Последовательность, n-й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих n.

Несложно проверить, что в третьем примере x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = 2, x_4 = 4, \ldots, то есть x_n = 3 + (-1)^n. А вот явные формулы для последовательностей в примерах 4 и 5 написать невозможно.

Рекуррентное задание последовательностей

Часто последовательности задают правилом, позволяющим выразить последующий член, зная предыдущие. Такой способ задания последовательностей называется рекуррентным (от латинского слова recurrere — возвращаться). Действительно, при вычислении членов последовательности приходится возвращаться назад к предыдущим членам.

Как правило для рекуррентно заданных последовательностей общий член x_n выражают в виде формулы, содержащей предыдущие члены. Эти формулы называют рекуррентными соотношениями.

Пример. Найдём первые восемь членов последовательности, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, то есть a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, а её первыми членами являются a_1 = 0 и a_2 = 1.

Решение. По условию

    \[a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 0 = 1,\]

    \[a_4 = a_3 + a_2 = 1 + 1 = 2,\]

    \[a_5 = a_4 + a_3 = 2 + 1 = 3,\]

    \[a_6 = a_5 + a_4 = 3 + 2 = 5,\]

    \[a_7 = a_6 + a_5 = 5 + 3 = 8,\]

    \[a_8 = a_7 + a_6 = 8 + 5 = 13.\]

Последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots, определяющаяся рекуррентным соотношением

    \[a_{n+2} = a_{n+1} + a_n,\]

называется последовательностью Фибоначчи. Можно доказать, что общий член этой последовательности задаётся формулой

    \[a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right].\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

17 − шесть =