Уравнение плоскости

Содержание

Уравнения плоскости в координатной форме
Уравнения плоскости в векторном виде

Определение. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости.

Уравнения плоскости в координатной форме

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

$Ax + By + Cz + D = 0, \qquad (A^2 + B^2 + C^2) \ne 0,$

при этом вектор с координатами $(A, B, C)$ является нормальным вектором к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно получить, если решить систему уравнений

$\begin{equation*} \begin{cases} Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0,\\ Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0,\\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Здесь $(x_0, y_0, z_0),$ $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $(1, 0, 0),$ $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1).$

Решение. Составляем систему уравнений

$\begin{equation*} \begin{cases} A + 0B + 0C + D = 0,\\ 0A + B + 0C + D = 0,\\ 0A + 0B + C + D = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Числа $A, B, C$ выражаем через $D$ :

$\begin{equation*} \begin{cases} A = -D,\\ B = -D,\\ C = -D. \end{cases} \end{equation*}$

Получаем уравнение плоскости

$-Dx - Dy - Dz + D = 0,$

или, после сокращения на $-D$ ,

$x + y + z - 1 = 0.$

Параметрические уравнения плоскости:

$x = x_0 + \alpha_1 u + \alpha_2 v, \quad y = y_0 + \beta_1 u + \beta_2 v, \quad z = z_0 + \gamma_1 u + \gamma_2 v.$

Здесь $(x_0, y_0, z_0)$ — некоторая точка плоскости, $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$ и $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ — координаты направляющих веторов плоскости, $u, v$ — параметры.

Уравнения плоскости в векторном виде

Векторное параметрическое уравнение плоскости:

$\textbf{r} = \textbf{r}_0 + \textbf{a}u + \textbf{b}v, \quad ([\textbf{a}, \textbf{b}] \ne \textbf{0}),$

где $\textbf{a}, \textbf{b}$ — направляющие векторы плоскости, $\textbf{r}_0$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

$(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{a}, \textbf{b}) = 0.$

То есть для того, чтобы вектор $\textbf{r}$ был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора $\textbf{r} - \textbf{r}_0,$ $\textbf{a}$ и $\textbf{b}$ лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.

Нормальное векторное уравнение плоскости:

$(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{n}) = 0, \qquad (\textbf{n} \ne 0),$

где $\textbf{n}$ — нормальный вектор плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

$(\textbf{r}, \textbf{n}) = D, \qquad (\textbf{n} \ne 0).$

Если вектор $\textbf{n}$ — единичный (его длина равна $1$ ), то величина $D$ есть расстояние от точки $O$ до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки с радиус-векторами $\textbf{r}_0,$ $\textbf{r}_1$ и $\textbf{r}_2$ можно записать в векторном виде:

$(\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{r}_1 - \textbf{r}_0, \textbf{r}_2 - \textbf{r}_0) = 0.$

Если радиус векторы $\textbf{r}, \textbf{r}_0, \textbf{r}_1, \textbf{r}_2$ имеют соответственно координаты $(x, y, z),$ $(x_0, y_0, z_0),$ $(x_1, y_1, z_1),$ $(x_2, y_2, z_2),$ то в координатной форме это уравнение запишется так:

$\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ x_1 - x_0 & y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\ x_2 - x_0 & y_2 - y_0 & z_2 - z_0 \end{vmatrix} = 0.$

Уравнения плоскости в координатной форме

Уравнения плоскости в векторном виде

Добавить комментарий Отменить ответ