Арифметическая прогрессия

Содержание

Определение арифметической прогрессии
- Формула общего члена арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
- Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Определение арифметической прогрессии

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d,$ называется арифметической прогрессией. Число $d$ называется разностью арифметической прогрессии.

То есть арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

$a_{n+1} = a_n + d.$

Например, последовательность нечётных натуральных чисел

$1, 3, 5, 7, 9, \ldots$

является арифметической прогрессией, так как любой её член отличается от предыдущего на 2.

Общий член арифметической прогрессии $a_n$ задаётся формулой

$a_n = d(n - 1) + a_1.$

Например, последовательность $2, 5, 8, 11, 14, 17,\ldots$ образует арифметическую прогрессию с разностью $d = 3$ и первым членом $a_1 = 2.$ Поэтому её общий член может быть задан соотношением

$a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1.$

Пример 1. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии, если её первый член $a_1 = 5,$ а разность $d = 3.$

Решение. По формуле для общего члена арифметической прогрессии имеем

$a_{11} = 5 + 3(11 - 1) = 35.$

Теорема. Последовательность $\{a_n\}$ тогда и только тогда является арифметической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего членов:

$a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n+1}}{2}.$

Доказательство. По определению арифметической прогрессии для всех $n = 2, 3, \ldots$ имеем

$d = a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n.$

Отсюда

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1},$

то есть

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В качестве примера найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, то есть вычислим сумму

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100.$

Решение. Можно сидеть и долго складывать все числа по порядку. Но есть более простой способ. Запишем сумму этих чисел, а под ней — ту же сумму, но в обратной последовательности:

$\begin{array}{cccccccccc} S = & 1& + & 2& + & 3& + \ldots + &99& + &100, \\ S = &100& + &99& + &98& + \ldots + & 2& + & 1. \end{array}$

Теперь почленно сложим эти суммы:

$2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ldots + (100 + 1)=$

$= \underbrace{101 + 101 + \ldots + 101}_{100} = 100 \cdot 101 = 10100.$

Отсюда $S = 50\cdot 101 = 5050.$

По легенде, школьный учитель математики, надеясь надолго занять детей, предложил им сосчитать эту сумму. Среди тех детей был будущий великий математик Карл Гаусс. Юный Гаусс быстро заметил, что попарные суммы членов с противоположных концов равны: $1 + 100 = 101,$ $2 + 99 = 101$ и т.д, и уже через несколько минут подошёл к учителю с ответом: $50\cdot 101 = 5050.$