Делимость чисел

Определение. Говорят, что целое число $m$ делится на натуральное число $n,$ если существует такое целое число $k,$ что выполняется равенство $m = nk.$ В этом случае число $n$ называют делителем числа $m,$ а число $m$ — кратным числу $n.$

Если число $m$ делится на число $n,$ то пишут: $m\,\vdots\,n.$ Например, $91\,\vdots\,7,$ так как $91=13 \cdot 7,$ а $115\,\vdots\,5,$ так как $115 = 23\cdot 5.$

Определение. Число $p \ge 2$ называется простым, если оно делится только на себя и на единицу. Множество простых чисел принято обозначать $\mathbb{P}.$
Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Например, число $13$ — простое, так как оно делится только на $1$ и на $13$ , а число $21 = 3 \cdot 7$ — составное.

Определение. Натуральное число $k$ называют общим делителем чисел $m$ и $n,$ если $m\,\vdots\,k$ и $n\,\vdots\,k.$ Наибольшее такое число $k$ называется наибольшим общим делителем $m$ и $n$ и обозначается НОД( $m$ , $n$ ) или просто $(m, n)$ .

Например, число 4 является общим делителем чисел 24 и 36, а число 6 — их наибольшим общим делителем, то есть НОД(24, 36) = 6.

Определение. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Так, числа 4 и 9 являются взаимно простыми, так как НОД(4, 9) равен единице, а числа 4 и 6 — не являются, так они оба делятся на 2.

Определение. Целое число $k$ называют общим кратным чисел $m$ и $n,$ если $k\,\vdots\,m$ и $k\,\vdots\,n.$ Наименьшее такое число $k$ называется наименьшим общим кратным чисел $m$ и $n$ и обозначается НОК( $m,$ $n$ ).

Например, число 48 является общим кратным чисел 6 и 8, а число 24 — их наименьшим общим кратым: НОК(6, 8) = 24.

Основные свойства делимости

Свойство 1. Если целое число $m$ делится на число $n,$ а число $n$ делится на число $k,$ то число $m$ делится на число $k.$

Свойство 2.Если $k$ — общий делитель чисел $m$ и $n,$ то:
а) числа $m+n$ и $m-n$ делятся на $k$ ;
б) число $mn$ делится на $k^2.$

Следствие. Если одно из чисел $m$ и $n$ делится на $k,$ а второе не делится на $k,$ то числа $m + n$ и $m - n$ не делятся на $k.$

Свойство 3. Если целое число $a$ делится на взаимно простые числа $m$ и $n,$ то $a$ делится на $mn.$

Свойство 4. Если число $m = ab$ ( $a,$ $b$ — целые) делится на простое число $p,$ то хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ делится на $p.$

Свойство 5. Если число $m = ab$ делится на число $n,$ а число $a$ взаимно просто с числом $n,$ то $b$ делится на $n.$

Основные свойства делимости

Добавить комментарий Отменить ответ