Функция Эйлера 
— функция, равная количеству чисел ряда 
, взаимно
простых с 
. Заметим, что из определения 
.
— функция, равная количеству чисел ряда , взаимно
простых с . Заметим, что из определения .
Пояснение: взаимно простыми называются числа, которые не имеют общих делителей, отличных от 1. Так как делителями нуля являются все натуральные числа, то 0 взаимно прост только с 1.
Вычисление функции Эйлера
Представим число 
в виде
![\[a = p_{1}^{\alpha _1} p_{2}^{\alpha _2}\ldots p_{k}^{\alpha _k},\]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41b1dfcb6a1438e60eace727e0d25514_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
где числа 
простые и попарно различные. Тогда
![\[\varphi(a)=a\prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac{1}{p_i}\right)=(p_{1}^{\alpha _1}-p_{1}^{\alpha _1-1})\ldots (p_{k}^{\alpha _k}-p_{k}^{\alpha _k-1}).\]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbb15f7d00ffdf3f4814399cd79a15ce_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Мультипликативность функции Эйлера
Для взаимно простых чисел и 
справедливо
![\[\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).\]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-577ca0f2c7ee5d8f7c5b479606bb53c3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Это свойство называется свойством мультипликативности функции Эйлера и может быть использовано для её вычисления.
Функция Эйлера онлайн
Программа вычисляет функцию Эйлера онлайн для любого числа, меньшего 
.
См. также: разложение числа на простые множители.
Один ответ к “Функция Эйлера онлайн”
Норм