Матрицы, основные операции с матрицами

Определение матрицы

Матрицей размера $m\times n$ называется набор $mn$ чисел, записанных в таблицу из $m$ строк и $n$ столбцов:

$\begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}$

Матрицу часто окружают обычными скобками:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

$A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\qquad B = \begin{Vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{Vmatrix}.$

Тогда матрицы $A$ и $B$ равны, если $a_{ij}=b_{ij}$ для любого $i = 1,\ldots , m$ и для любого $j=1,\ldots , n$ .

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

Суммой матриц $A$ и $B$ называется матрица

$C = \begin{Vmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{Vmatrix}.$

То есть матрица $C$ является суммой матриц $A$ и $B$ , если каждый элемент матрицы $C$ равен сумме элементов матриц $A$ и $B$ , стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы $A$ на число $\alpha$ (обозначается $\alpha A$ ) называется матрица $C$ , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы $A$ , умноженным на $\alpha$ . То есть

$C = \alpha A = \begin{Vmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \cdots & \alpha a_{1n} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \cdots & \alpha a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \alpha a_{m2} & \cdots & \alpha a_{mn}\end{Vmatrix}.$

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица $(-1)\cdot A = -A$ называется противоположной матрице $A$ . Разностью матриц $B$ и $A$ называется сумма $B + (-A)$ .

Пример. Найти сумму и разность матриц

$\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix}.$

Решение. Сумма матриц

$\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 15 & -1 \\ 17 & -4 & 11 \end{pmatrix} .$

Разность матриц

$\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 11 & -1 \\ -11 & -4 & 21 \end{pmatrix} .$

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

$A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},$

состоящую из $m$ строк и $n$ столбцов. Матрица $B$ , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы $A$ , называется транспонированной по отношению к $A$ и обозначается $A^T$ :

$B = A^T = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}.$

Пример. Транспонировать матрицу

$\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}.$

Решение.

$\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 13 & -4 \\ -1 & 16 \end{pmatrix}.$

Определение матрицы

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Транспонирование матриц

Добавить комментарий Отменить ответ