Последовательности

Определение. Пусть каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие некоторое число $x.$ Это значит, что на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ задана числовая функция $x = x(n).$ Эту функцию называют бесконечной числовой последовательностью. Аргумент $n$ этой функции чаще всего записывают в виде индекса, т. е. вместо $x(n)$ обычно пишут $x_n,$ а саму последовательность обозначают $\{x_n\}.$

Последовательность может быть задана не на всём множестве $\mathbb{N},$ а на некотором его конечном подмножестве. В этом случае последовательность называют конечной числовой последовательностью.

Приведём примеры последовательностей.

-1; 1; -1; 1; … (то есть $x_n = (-1)^n$ );
1; 4; 9; 16; … (то есть $x_n = n^2$ );
Последовательность, $n$ -й член которой равен $n$ -му знаку после запятой в десятичной записи числа $\frac{8}{33}$ ;
Последовательность, $n$ -й член которой равен $n$ -му знаку после запятой в десятичной записи числа $\pi$ ;
Последовательность, $n$ -й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих $n.$

Несложно проверить, что в третьем примере $x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = 2, x_4 = 4, \ldots,$ то есть $x_n = 3 + (-1)^n.$ А вот явные формулы для последовательностей в примерах 4 и 5 написать невозможно.

Рекуррентное задание последовательностей

Часто последовательности задают правилом, позволяющим выразить последующий член, зная предыдущие. Такой способ задания последовательностей называется рекуррентным (от латинского слова recurrere — возвращаться). Действительно, при вычислении членов последовательности приходится возвращаться назад к предыдущим членам.

Как правило для рекуррентно заданных последовательностей общий член $x_n$ выражают в виде формулы, содержащей предыдущие члены. Эти формулы называют рекуррентными соотношениями.

Пример. Найдём первые восемь членов последовательности, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, то есть $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n,$ а её первыми членами являются $a_1 = 0$ и $a_2 = 1.$

Решение. По условию

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 0 = 1,$