Квадрат суммы нескольких слагаемых

Раскроем скобки в выражении $(a + b + c)^2$ :

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) =$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 =$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Итак, имеем

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Справа записана сумма квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых. Вообще говоря, для любого $n$ справедливо тождество

$(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 +$

$+ 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + \ldots + 2a_{n-1}a_n.$

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых.

В верности этого равенства можно убедиться, если раскрыть скобки и привести подобные члены.

Добавить комментарий Отменить ответ