Уравнение прямой

Содержание

Уравнение прямой на плоскости
- Уравнения прямой на плоскости в координатной форме
- Уравнения прямой на плоскости в векторной форме
Уравнение прямой в пространстве
- Уравнения прямой в пространстве в координатной форме
- Уравнения прямой в пространстве в векторной форме

Уравнение прямой на плоскости

Уравнения прямой на плоскости в координатной форме

Любую прямую линию на плоскости можно задать общим уравнением прямой в декартовой системе координат:

$Ax + By + C = 0,\qquad (A^2 + B^2 \ne 0),$

то есть числа $A, B$ одновременно не равны нулю.

Прямая линия на плоскости может быть задана параметрическим уравнением прямой:

$x = x_0 + \alpha t, \qquad y = y_0 + \beta t,$

где числа $\alpha, \beta$ не равны нулю одновременно. Числа $\alpha, \beta$ являются компонентами направляющего вектора прямой — ненулевого вектора, лежащего на прямой.

Если $\alpha \ne 0,$ $\beta \ne 0,$ то после исключения из уравнений прямой в параметрической форме параметра $t$ уравнение прямой приводятся к канонической форме:

$\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta}.$

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ :

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}.$

При $x_1 = x_2$ или $y_1 = y_2$ это уравнение принимает соответственно вид $x = x_1$ или $y = y_1.$

Уравнения прямой на плоскости в векторной форме

Векторное уравнение прямой в параметрической форме:

$\textbf{r} = \textbf{r}_0 + \textbf{a}t, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0},$

где $\textbf{a}$ — направляющий вектор прямой, $\textbf{r}_0$ — радиус-вектор некоторой точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в векторной форме

Нормальное векторное уравнение прямой:

$\left(\textbf{r}-\textbf{r}_0, \textbf{n}\right) = 0, \qquad \textbf{n} \ne \textbf{0},$

где $\textbf{n}$ — вектор нормали к прямой.

Это уравнение также можно записать в форме

$\left(\textbf{r}, \textbf{n}\right) = D, \qquad \textbf{n} \ne \textbf{0},$

причём если вектор $\textbf{n}$ — единичный, то величина $D = \left(\textbf{r}_0, \textbf{n}\right)$ есть расстояние от точки $O$ до прямой. Вообще говоря, это уравнение имеет следующий смысл: проекция радиус-вектора любой точки прямой на нормаль к этой прямой постоянна.

Векторное уравнение прямой, проходящей через две различные точки:

$\textbf{r} = \textbf{r}_1 + \left(\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1\right)t,$

где $\textbf{r}_1$ и $\textbf{r}_2$ — радиус-векторы данных точек.

Уравнение прямой в векторной форме по двум точкам

Это уравнение легко получается из векторного уравнения прямой в параметрической форме, если в качестве направляющего вектора прямой $\textbf{a}$ взять вектор $\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1.$

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве в координатной форме

Прямая линия в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями:

$x = x_0 + \alpha t, \quad y = y_0 + \beta t, \quad z = z_0 + \gamma t.$

Числа $\alpha, \beta, \gamma$ являются компонентами направляющего вектора прямой.

Исключением параметра $t$ параметрические уравнения прямой приводятся к канонической форме:

$\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta} = \frac{z - z_0}{\gamma}.$

Если, например, $\gamma = 0,$ то канонические уравнения принимают вид

$\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta},\quad z = z_0.$

Аналогично для любой другой компоненты направляющего вектора.

Если два параметра равны нулю, например, $\beta = \gamma = 0,$ то канонические уравнения имеют вид $y = y_0,$ $z = z_0.$ Аналогично для любых других пар компонент направляющего вектора.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ :

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}.$

Если, например, $z_1 = z_2,$ то уравнения прямой принимают вид

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}, \quad z = z_1.$

Если к тому же $y_1 = y_2,$ то уравнения прямой записываются в виде $y = y_1, z = z_1.$ Аналогично для любых двух пар совпадающих координат точек.

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей:

$\begin{equation*} \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Уравнение прямой в пространстве в векторной форме

Прямая линия в пространстве может быть задана уравнением в параметрической форме:

$\textbf{r} = \textbf{r}_0 + \textbf{a}t, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0},$

где $\textbf{a}$ — направляющий вектор прямой, $\textbf{r}_0$ — радиус-вектор некоторой точки прямой. Это уравнение совпадает с параметрическим векторным уравнением прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой в векторной форме

Прямую в пространстве можно задать векторными уравнениями:

$\left[\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{a}\right]=\textbf{0}, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0}$

или

$\left[\textbf{r}, \textbf{a}\right]=\textbf{b}, \quad \textbf{a} \ne \textbf{0}, \quad (\textbf{a}, \textbf{b}) \ne 0.$

Векторное уравнение прямой в пространстве, проходящей через две различные точки: