Формулы двойного и тройного угла

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}$

$\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}$

$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}$

$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}$

$\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha }{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}$

Формулы двойного угла — это формулы, связывающие тригонометрические функции угла $2\alpha$ (синус, косинус, тангенс) с тригонометрическими функциями угла $\alpha$ .

Формулы двойного и тройного угла (аргумента) выводятся из формул сложения.

Синус двойного угла

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.$

Доказательство. Воспользуемся формулой сложения для синуса

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$

Из этой формулы получаем

$\sin (2\alpha) = \sin (\alpha + \alpha) =$

$=\sin\alpha\cos\alpha +\cos\alpha\sin\alpha = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.$

Косинус двойного угла

$\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}.$

Доказательство. Применим формулу суммы агументов косинуса:

$\cos (\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$

Получим

$\cos (2\alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha.$

Тангенс двойного угла

$\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}.$

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Синус, косинус и тангенс тройного угла

$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}.$

$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}.$

$\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha }{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}.$

Доказательство. Формулы тройного угла можно получить из формул сложения, зная формулы двойного угла. Покажем это на примере синуса:

$\sin(3\alpha) = \sin{\alpha + 2\alpha} = \sin\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin 2\alpha =$

$=\sin{\alpha}\left(1 - 2 \sin^2{\alpha}\right) + \cos\alpha(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}).$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2{\alpha}$ и приводя подобные члены, получаем формулу тройного угла для синуса.

Аналогично получаются формулы тройного угла для косинуса и тангенса.

Синус двойного угла

Косинус двойного угла

Тангенс двойного угла

Синус, косинус и тангенс тройного угла

Один ответ к “Формулы двойного и тройного угла”

Добавить комментарий Отменить ответ