Всего существует три важных признака делимости на 11.
Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.
Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.
Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.
б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.
Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.
б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.
Ответ: делится.
Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.