Уравнение прямой

Содержание

Уравнение прямой на плоскости

Уравнения прямой на плоскости в координатной форме

Любую прямую линию на плоскости можно задать общим уравнением прямой в декартовой системе координат:

    \[Ax + By + C = 0,\qquad (A^2 + B^2 \ne 0),\]

то есть числа A, B одновременно не равны нулю.

Прямая линия на плоскости может быть задана параметрическим уравнением прямой:

    \[x = x_0 + \alpha t, \qquad y = y_0 + \beta t,\]

где числа \alpha, \beta не равны нулю одновременно. Числа \alpha, \beta являются компонентами направляющего вектора прямой — ненулевого вектора, лежащего на прямой.

Если \alpha \ne 0, \beta \ne 0, то после исключения из уравнений прямой в параметрической форме параметра t уравнение прямой приводятся к канонической форме:

    \[\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta}.\]

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x_1, y_1) и (x_2, y_2):

    \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}.\]

При x_1 = x_2 или y_1 = y_2 это уравнение принимает соответственно вид x = x_1 или y = y_1.

Уравнения прямой на плоскости в векторной форме

Векторное уравнение прямой в параметрической форме:

    \[\textbf{r} = \textbf{r}_0 + \textbf{a}t, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0},\]

где \textbf{a} — направляющий вектор прямой, \textbf{r}_0 — радиус-вектор некоторой точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в векторной форме

Нормальное векторное уравнение прямой:

    \[\left(\textbf{r}-\textbf{r}_0, \textbf{n}\right) = 0, \qquad \textbf{n} \ne \textbf{0},\]

где \textbf{n} — вектор нормали к прямой.

Это уравнение также можно записать в форме

    \[\left(\textbf{r}, \textbf{n}\right) = D, \qquad \textbf{n} \ne \textbf{0},\]

причём если вектор \textbf{n} — единичный, то величина D =  \left(\textbf{r}_0, \textbf{n}\right) есть расстояние от точки O до прямой. Вообще говоря, это уравнение имеет следующий смысл: проекция радиус-вектора любой точки прямой на нормаль к этой прямой постоянна.

Векторное уравнение прямой, проходящей через две различные точки:

    \[\textbf{r} = \textbf{r}_1 + \left(\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1\right)t,\]

где \textbf{r}_1 и \textbf{r}_2 — радиус-векторы данных точек.

Уравнение прямой в векторной форме по двум точкам

Это уравнение легко получается из векторного уравнения прямой в параметрической форме, если в качестве направляющего вектора прямой \textbf{a} взять вектор \textbf{r}_2 - \textbf{r}_1.

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве в координатной форме

Прямая линия в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями:

    \[x = x_0 + \alpha t, \quad y = y_0 + \beta t, \quad z = z_0 + \gamma t.\]

Числа \alpha, \beta, \gamma являются компонентами направляющего вектора прямой.

Исключением параметра t параметрические уравнения прямой приводятся к канонической форме:

    \[\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta} = \frac{z - z_0}{\gamma}.\]

Если, например, \gamma = 0, то канонические уравнения принимают вид

    \[\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta},\quad z = z_0.\]

Аналогично для любой другой компоненты направляющего вектора.

Если два параметра равны нулю, например, \beta = \gamma = 0, то канонические уравнения имеют вид y = y_0, z = z_0. Аналогично для любых других пар компонент направляющего вектора.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2):

    \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}.\]

Если, например, z_1 = z_2, то уравнения прямой принимают вид

    \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}, \quad z = z_1.\]

Если к тому же y_1 = y_2, то уравнения прямой записываются в виде y = y_1, z = z_1. Аналогично для любых двух пар совпадающих координат точек.

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей:

    \begin{equation*} \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0. \end{cases} \end{equation*}

Уравнение прямой в пространстве в векторной форме

Прямая линия в пространстве может быть задана уравнением в параметрической форме:

    \[\textbf{r} = \textbf{r}_0 + \textbf{a}t, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0},\]

где \textbf{a} — направляющий вектор прямой, \textbf{r}_0 — радиус-вектор некоторой точки прямой. Это уравнение совпадает с параметрическим векторным уравнением прямой на плоскости.Параметрическое уравнение прямой в векторной форме

Прямую в пространстве можно задать векторными уравнениями:

    \[\left[\textbf{r} - \textbf{r}_0, \textbf{a}\right]=\textbf{0}, \qquad \textbf{a} \ne \textbf{0}\]

или

    \[\left[\textbf{r}, \textbf{a}\right]=\textbf{b}, \quad \textbf{a} \ne \textbf{0}, \quad (\textbf{a}, \textbf{b}) \ne 0.\]

Векторное уравнение прямой в пространстве, проходящей через две различные точки:

    \[\textbf{r} = \textbf{r}_1 + \left(\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1\right)t,\]

где \textbf{r}_1 и \textbf{r}_2 — радиус-векторы двух точек прямой.Уравнение прямой в векторной форме по двум точкам

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 × 4 =