Признак делимости на 13

Прежде, чем сформулировать признак делимости на 13, дадим такое простое определение:

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Признак делимости на 13: число делится на 13, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример: проверить, делятся ли на 13 числа а) 433407 б) 66199 в) 1231321.

Решение: а) 433407. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 433|407. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней равна 433 − 407 = 26 — делится на 13. Следовательно, число 433407 делится на 13. Ответ: делится.

б) 66199. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 66|199. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней равна 66 − 199 = −133. Число −133 на 13 не делится. Действительно, −133 = −130 − 3 = −13 ⋅ 10 − 3. Поэтому 66199 не делится на 13. Ответ: не делится.

в) 1231321. Разбиваем это число на трёхзначные грани: 1|231|321. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 231 + 321 = 91. Число 91 делится на 13: 91 = 7 ⋅ 13. Поэтому число 1231321 делится на 13. Ответ: делится.

Доказательство признака делимости на 13 основывается на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство признаков делимости смотрите здесь.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

7 − два =