Арифметическая прогрессия

Определение арифметической прогрессии

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

То есть арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

    \[a_{n+1} = a_n + d.\]

Например, последовательность нечётных натуральных чисел

    \[1, 3, 5, 7, 9, \ldots\]

является арифметической прогрессией, так как любой её член отличается от предыдущего на 2.

Общий член арифметической прогрессии a_n задаётся формулой

    \[a_n = d(n - 1) + a_1.\]

Например, последовательность 2, 5, 8, 11, 14, 17,\ldots образует арифметическую прогрессию с разностью d = 3 и первым членом a_1 = 2. Поэтому её общий член может быть задан соотношением

    \[a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1.\]

Пример 1. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии, если её первый член a_1 = 5, а разность d = 3.

Решение. По формуле для общего члена арифметической прогрессии имеем

    \[a_{11} = 5 + 3(11 - 1) = 35.\]

Теорема. Последовательность \{a_n\} тогда и только тогда является арифметической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего членов:

    \[a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n+1}}{2}.\]

Доказательство. По определению арифметической прогрессии для всех n = 2, 3, \ldots имеем

    \[d = a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n.\]

Отсюда

    \[2a_n = a_{n-1} + a_{n+1},\]

то есть

    \[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.\]

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В качестве примера найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, то есть вычислим сумму

    \[S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100.\]

Решение. Можно сидеть и долго складывать все числа по порядку. Но есть более простой способ. Запишем сумму этих чисел, а под ней — ту же сумму, но в обратной последовательности:

    \[\begin{array}{cccccccccc} S = & 1& + & 2& + & 3& + \ldots + &99& + &100, \\ S = &100& + &99& + &98& + \ldots + & 2& + & 1. \end{array}\]

Теперь почленно сложим эти суммы:

    \[2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ldots + (100 + 1)=\]

    \[= \underbrace{101 + 101 + \ldots + 101}_{100} = 100 \cdot 101 = 10100.\]

Отсюда S = 50\cdot 101 = 5050.

По легенде, школьный учитель математики, надеясь надолго занять детей, предложил им сосчитать эту сумму. Среди тех детей был будущий великий математик Карл Гаусс. Юный Гаусс быстро заметил, что попарные суммы членов с противоположных концов равны: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 и т.д, и уже через несколько минут подошёл к учителю с ответом: 50\cdot 101 = 5050.

Этим же приёмом удобно воспользоваться и при вычислении суммы первых n членов арифметической прогрессии, если заметить, что

    \[a_k + a_{n+1-k} = a_1 + a_n.\]

Действительно,

    \[a_k + a_{n+1-k} = a_1 + d(k - 1) + a_1 + d(n-k) = \]

    \[a_1 + (a_1 + d(n-1)) = a_1 + a_n.\]

Сумма первых n членов арифметической прогресиии

    \[S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\]

равна полусумме первого и n-ного её членов, умноженной на число членов, то есть

    \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.\]

Доказательство. Запишем сумму S_n сначала в прямом порядке, а затем — в обратном:

    \[S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n,\]

    \[S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1.\]

Сложим почленно эти два равенства и воспользуемся тем, что a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots = a_n + a_1:

    \[2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_n + a_1) = \]

    \[=(a_1 + a_n)n.\]

Отсюда находим

    \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

шестнадцать − 13 =