Определитель матрицы

Рассмотрим набор натуральных чисел от 1 до n: 1,2, \ldots , n. Перестановкой этих чисел называется их запись в некотором порядке без повторений. Например, последовательность 2,4,3,1 является перестановкой множества 1,2,3,4.

Обозначим перестановки этих чисел как \{k_1, k_2, \ldots, k_n\}. Из комбинаторики известно, что число всех таких различных перестановок равно n!.

Определение. Говорят, что числа k_i и k_j перестановки образуют инверсию (или беспорядок), если при i < j верно неравенство k_i > k_j. Число всех инверсий в перестановке \{k_1, k_2, \ldots, k_n\} обозначим I(k_1, k_2, \ldots, k_n).

Например, I(2,4,3,1)=4, так как перед числом 3 стоит число 4 > 3, а перед числом 1 стоят числа 2,3,4, большие единицы.

Пусть дана квадратная матрица

    \[A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{Vmatrix}.\]

Определение. Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы A размера n\times n называется число

    \[\det A = \sum_{\{k_1, k_2, \ldots, k_n\}} (-1)^{I(k_1, k_2, \ldots, k_n)} a_{1k_1}a_{2k_2}\ldots a_{nk_n},\]

где сумма берётся по всевозможным перестановкам \{k_1, k_2, \ldots, k_n\} номеров столбцов матрицы A.

Определитель матрицы принято обозначать следующим образом:

    \[\det A = \det \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{Vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.\]

Свойства определителей

  1. Определитель единичной матрицы равен единице:

        \[\det E = 1.\]

  2. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:

        \[\det A^T = \det A.\]

  3. При перестановке двух столбцов или строк матрицы знак её определителя меняется на противоположный.
  4. Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца (строки), равен нулю.
  5. При вычислении определителя матрицы из столбца (строки) можно выносить общий множитель.

        \[ \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \alpha a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \alpha a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}. \]

  6. При добавлении к некоторому столбцу (строке) матрицы линейной комбинации остальных столбцов определитель матрицы не изменяется.

    Линейной комбинацией столбцов называется сумма этих столбцов, умноженных на некоторые коэффициенты.

  7. Определитель обратной матрицы (в случае, если она существует) равен

        \[\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}.\]

  8. Определитель произведения матриц размера n\times n равен произведению их определителей:

        \[\det(AB) = \det A \cdot \det B.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два + одиннадцать =