Матрицы

Определение матрицы

Матрицей размера m\times n называется набор mn чисел, записанных в таблицу из m строк и n столбцов:

    \[\begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}\]

Матрицу часто окружают обычными скобками:

    \[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

    \[A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\qquad B = \begin{Vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{Vmatrix}.\]

Тогда матрицы A и B равны, если a_{ij}=b_{ij} для любого i = 1,\ldots , m и для любого j=1,\ldots , n.

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

    \[A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\qquad B = \begin{Vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{Vmatrix}.\]

Суммой матриц A и B называется матрица

    \[C = \begin{Vmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2}  & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{Vmatrix}.\]

То есть матрица C является суммой матриц A и B, если каждый элемент матрицы C равен сумме элементов матриц A и B, стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A на число \alpha (обозначается \alpha A) называется матрица C, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на \alpha. То есть

    \[C = \alpha A =  \begin{Vmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \cdots & \alpha a_{1n} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \cdots & \alpha a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \alpha a_{m2} & \cdots & \alpha a_{mn}\end{Vmatrix}.\]

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица (-1)\cdot A = -A называется противоположной матрице A. Разностью матриц B и A называется сумма B + (-A).

Пример. Найти сумму и разность матриц

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix}.\]

Решение. Сумма матриц

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 15 & -1 \\ 17 & -4 & 11 \end{pmatrix} .\]

Разность матриц

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 14 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 11 & -1 \\ -11 & -4 & 21 \end{pmatrix} .\]

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

    \[A = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\]

состоящую из m строк и n столбцов. Матрица B, все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы A, называется транспонированной по отношению к A и обозначается A^T:

    \[B = A^T = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}.\]

Пример. Транспонировать матрицу

    \[\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}.\]

Решение.

    \[\begin{pmatrix} 2 & 13 & -1 \\ 3 & -4 & 16 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 13 & -4 \\ -1 & 16 \end{pmatrix}.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два × 2 =