Комплексные числа

От натуральных чисел к комплексным

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида 1, 2, 3, \ldots, то есть те числа, которые используются человеком для счёта. В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел. Чтобы этого избежать, были придуманы целые числа и рациональные числа.

Потребность измерять величины и проводить операции вроде извлечения корня привела к расширению множества рациональных чисел — к нему добавились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе образовали множество действительных чисел.

Наконец, желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел.

Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Определение. Комплексными числами называются выражения вида a+bi, в которых a и b — некоторые действительные числа, а i — символ, называемый мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обычно обозначается \mathbb{C} (от слова complex).
Введём понятие равенства и операции сложения и умножения для комплексных чисел.

  1. Два комплексных числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
  2. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется число 

    (1)   \begin{equation*}  a + c + (b + d)i. \end{equation*}

  3. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется число

    (2)   \begin{equation*} ac - bd + (ad + bc)i.\end{equation*}

Обычно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего z (пишут z = a+bi). При этом число a называется действительной частью числа z = a + bi и обозначается \operatorname{Re}z (от слова real); пишут \operatorname{Re}z = a или \operatorname{Re}(a + bi) = a. Число b называется мнимой частью числа z и обозначается  \operatorname{Im}z (от слова imagine); пишут \operatorname{Im}z = \operatorname{Im}(a+bi) = b.

Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел: любое действительное число можно представить в виде a = a + 0i. Числа вида 0 + bi называются чисто мнимыми и обозначаются bi.

Пользуясь формулой (2), найдём

    \[i^2 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = -1 + 0i = -1.\]

То есть

(3)   \begin{equation*} i^2 = -1.\end{equation*}

Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, так как она легко получается, если в произведении двучленов a + bi и c + di заменить i^2 по формуле (3) на -1:

    \[(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc)i.\]

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел z_1 = 7 + 3i и z_2 = 3 - 2i.
Решение. Пользуясь формулой (1), находим сумму:

    \[z_1 + z_2 = (7 + 3i) + (3 - 2i) = (7 + 3) + (3 - 2)i = 10 + i.\]

Учитывая, что i^2 = -1, находим произведение:

    \[z_1 z_2 = (7 + 3i)(3 - 2i) = 21 - 14i + 9i - 6i^2 = \]

    \[=21 - 14i + 9i + 6 = 27 - 5i.\]

Свойства операций над комплексными числами

  1. Коммутативность сложения: z_1+z_2 = z_2 + z_1 для любых комплексных чисел z_1 и z_2.
  2. Ассоциативность сложения: (z_1+z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) для любых комплексных чисел z_1, z_2 и z_3.
  3. z + 0 = z для любого комплексного числа z.
  4. Для любых комплексных чисел z_1 и z_2 существует комплексное число z такое, что z_1 + z = z_2. Это число z называется разностью комплексных чисел z_1 и z_2 и обозначается z_2 - z_1.
  5. Коммутативность умножения: z_1z_2 = z_2z_1 для любых комплексных чисел z_1 и z_2.
  6. Ассоциативность умножения: (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) для любых комплексных чисел z_1, z_2 и z_3.
  7. Закон дистрибутивности: z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 для любых комплексных чисел z_1, z_2 и z_3.
  8. 1\cdot z = z для любого комплексного числа z.
  9. Для любых двух комплексных чисел z_1 и z_2, z_2 \ne 0, существует число z такое, что z_2z = z_1. Это число z называется частным комплексных чисел z_1 и z_2 и обозначается \frac{z_1}{z_2}.

Все эти свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Докажем здесь свойство 9.

Пусть z_1 = a + bi, z_2 = c + di, z_2 \ne 0 (неравенство числа z_2 нулю означает, что хотя бы одно из чисел c и d не равно нулю), z = x + iy. Тогда равенство zz_2 = z_1 записывается так: a + bi = (x + iy)(c + di) = xc - yd + (xd + yc)i. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что числа x и y удовлетворяют системе уравнений:

    \[\left\{\begin{array}{ll} cx - dy = a,\\ dx + cy = b. \end{array} \right.\]

Эта система уравнений имеет единственное решение

    \[x = \frac{ac + bd}{c^2+d^2}, \qquad y = \frac{bc - ad}{c^2 + d^2},\]

то есть

(4)   \begin{equation*}  \frac{z_1}{z_2}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2} +  \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} i.\end{equation*}

Эту формулу можно не запоминать. Далее мы покажем более простой способ нахождения частного двух комплексных чисел.

Определение. Пусть задано комплексное число z = a+bi. Число a - bi называется комплексно сопряжённым числу z и обозначается \overline{z}.

Произведение комплексных чисел z\overline{z} — всегда действительное число, большее нуля. Действительно, пусть z = a + bi, тогда

    \[z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi + b^2 = a^2 + b^2.\]

Определение. Модулем комплексного числа z = a + bi называется действительное число, равное |z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}.

Заметим, что |z| = |\overline{z}|.

Покажем теперь простой способ для нахождения частного двух комплексных чисел.

    \[\frac{z_1}{z_2}  = \frac{z_1\overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}}  =  \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}, \qquad z_2 \ne 0.\]

Здесь мы умножили числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В результате в знаменателе получилось действительное число.

Пример 2. Найти разность z_1 - z_2 и частное \frac{z_1}{z_2} комплексных чисел

    \[z_1 = 1 - 3i, \qquad z_2 = -3 + 7i.\]

Решение. Находим разность:

    \[z_1 - z_2 = (1 - 3i) - (-3 + 7i) = (1 - (-3)) + (-3 - 7)i = 4 - 10i.\]

Частное находим, домножая числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю:

    \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 - 3i}{-3 + 7i} = \frac{(1 - 3i)(-3 - 7i)}{(-3 + 7i)(-3 - 7i)} = \frac{-3 - 7i + 9i - 21}{3^2 + 7^2} =\]

    \[= -\frac{24}{58} + \frac{2}{58}i = -\frac{12}{29} + \frac{1}{29}i.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемь − 8 =