Сумма и разность кубов

Сумма кубов

    \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\]

Выражение a^2 - ab + b^2 отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при ab. Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.

Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:

    \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]

Выразим отсюда a^3 + b^3:

    \[a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = \]

    \[ = (a + b)((a + b)^2 - 3ab) = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\]

Разность кубов

Заменив в формуле суммы кубов b на -b, получим формулу разности кубов:

    \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]

Выражение a^2 + ab + b^2 называют неполным квадратом суммы.

Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x^3 - 8y^6.

Решение. Заметим, что 27x^3 = (3x)^3, а 8y^6 = (2y^2)^3. Поэтому по формуле разности кубов получаем

    \[27x^3 - 8y^6 = (3x - 2y^2)(9x^2 + 6xy^2 + 4y^4).\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 × пять =