Разложение на множители суммы и разности степеней

Для любого натурального числа n верно равенство

    \[a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + a^{n-k}b^{k-1} + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}).\]

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, раскроем скобки и приведём подобные члены. Получим

    \[(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}) = \]

    \[=a^n - \underline{a^{n-1}b} + \underline{a^{n-1}b} - a^{n-2}b^2 + \ldots + a^2b^{n-2} - ab^{n-1} + ab^{n-1} - b^n.\]

При раскрытии скобок вслед за произведением каждого слагаемого на a мы записывали его произведение на -b. После приведения подобных слагаемых в сумме останутся только первое и последнее слагаемое, то есть a^n - b^n.

Если n — нечётное число (n = 2m + 1), то после замены b на -b в формуле разности степеней получим тождество

    \[a^{2m+1} + b^{2m+1} = (a + b)(a^{2m} - a^{2m-1}b + \ldots + \]

    \[+ (-1)^ka^{2m-k}b^{k} + \ldots + b^{2m}).\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

тринадцать − 2 =