Квадрат суммы нескольких слагаемых

Раскроем скобки в выражении (a + b + c)^2:

    \[(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = \]

    \[ = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 = \]

    \[ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.\]

Итак, имеем

    \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.\]

Справа записана сумма квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых. Вообще говоря, для любого n справедливо тождество

    \[(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + \]

    \[ + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + \ldots + 2a_{n-1}a_n.\]

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых.

В верности этого равенства можно убедиться, если раскрыть скобки и привести подобные члены.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семнадцать − семнадцать =