Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Возведём выражение a + b в квадрат:

    \[(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

То есть

    \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

Это равенство называют формулой квадрата суммы.

Говорят: квадрат суммы двух выражений есть сумма квадратов этих выражений плюс их удвоенное произведение.

Квадрат разности

Возведём в квадрат выражение a - b:

    \[(a - b)^2 = a^2 - ab - ba + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

То есть

    \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Это тождество называют формулой квадрата разности.

Читают: квадрат разности двух выражений есть сумма квадратов этих выражений минус их удвоенное проиведение.

Заметим, что формулу квадрата разности можно было получить из формулы квадрата суммы заменой b на -b.

Пример 1. Представить выражение (3x + 2y)^2 в виде многочлена.

Решение. Пользуясь формулой квадрата суммы (здесь a = 3x, b = 2y), получаем

    \[(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2.\]

Пример 2. Представить выражение (5x - y)^2 в виде многочлена.

Решение. Применяя формулу квадрата разности (здесь a = 5x, b = y), находим

    \[(5x - y)^2 = (5x)^2 - 2\cdot 5x\cdot y + y^2 = 25x^2 - 10xy + y^2.\]

Пример 3. Представить многочлен 16x^2 + 40x + 25 в виде квадрата двучлена.

Решение. Поскольку 16x^2 = (4x)^2 и 25 = 5^2, то

    \[16x^2 + 40x + 25 = (4x)^2 + 40x + 5^2.\]

Так как 40x = 2\cdot 4x \cdot 5, то по формуле квадрата суммы получаем

    \[16x^2 + 40x + 25 = (4x)^2 + 2\cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = (4x + 5)^2.\]

Пример 4. Найти значения выражений 41^2 и 3{,}9^2.

Решение. Пользуясь формулой квадрата суммы, получаем

    \[41^2 = (40 + 1)^2 = 40^2 + 2\cdot 40 + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681.\]

Так как 3{,}9^2 = (4 - 0{,}1)^2, то применяя формулу квадрата разности, находим

    \[3{,}9^2 = (4 - 0{,}1)^2 = 4^2 - 2\cdot 4\cdot0{,}1 + 0{,}1^2 = \]

    \[= 16 - 0{,}8 + 0{,}01 = 15{,}21.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

5 − два =