Куб суммы и разности

Куб суммы

Распишем выражение (a + b)^3 в виде многочлена:

    \[(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = \]

    \[= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]

Итак, получили формулу куба суммы:

    \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности

Найдём, как расписывается выражение (a - b)^3. Для этого заменим в формуле куба суммы b на -b:

    \[(a - b)^3 = (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = \]

    \[= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Итак, получили формулу куба разности:

    \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

Пример 1. Представить в виде многочлена выражение (2x^2 - 3y)^3.

Решение. По формуле куба разности

    \[(2x^2 - 3y)^3 = (2x^2)^3 - (2x^2)^2(3y) + (2x^2)(3y)^2 - (3y)^3 = \]

    \[=8x^6 - 4x^4\cdot 3y + 2x^2\cdot 9y^2 - 27y^3 = 8x^6 - 12x^4y + 18x^2y^2 - 27y^3.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × 2 =