Формулы двойного и тройного угла

    \[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\]

    \[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}\]

    \[\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}\]

    \[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}\]

    \[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}\]

    \[\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha -  \operatorname{tg}^3\alpha }{1 -  3\operatorname{tg}^2\alpha}\]

Формулы двойного угла — это формулы, связывающие тригонометрические функции угла 2\alpha (синус, косинус, тангенс) с тригонометрическими функциями угла \alpha.

Формулы двойного и тройного угла (аргумента) выводятся из формул сложения.

Синус двойного угла

    \[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.\]

Доказательство. Воспользуемся формулой сложения для синуса

    \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]

Из этой формулы получаем

    \[ \sin (2\alpha) = \sin (\alpha + \alpha) =\]

    \[=\sin\alpha\cos\alpha +\cos\alpha\sin\alpha =  2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.\]

Косинус двойного угла

    \[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 =1 - 2 \sin^2{\alpha}.\]

Доказательство. Применим формулу суммы агументов косинуса: 

    \[\cos (\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]

Получим

    \[\cos (2\alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha.\]

Тангенс двойного угла

    \[\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1- \operatorname{tg} ^2{\alpha}}.\]

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Синус, косинус и тангенс тройного угла

    \[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3{\alpha}.\]

    \[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos{\alpha}.\]

    \[\operatorname{tg}3\alpha=\frac{3\operatorname{tg}\alpha -  \operatorname{tg}^3\alpha }{1 -  3\operatorname{tg}^2\alpha}.\]

Доказательство. Формулы тройного угла можно получить из формул сложения, зная формулы двойного угла. Покажем это на примере синуса:

    \[ \sin(3\alpha) = \sin{\alpha + 2\alpha} =  \sin\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin 2\alpha = \]

    \[=\sin{\alpha}\left(1 - 2 \sin^2{\alpha}\right) + \cos\alpha(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}).\]

Используя основное тригонометрическое тождество \cos^2\alpha = 1 - \sin^2{\alpha} и приводя подобные члены, получаем формулу тройного угла для синуса.

Аналогично получаются формулы тройного угла для косинуса и тангенса.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемнадцать + 20 =