Делимость чисел

Определение. Говорят, что целое число m делится на натуральное число n, если существует такое целое число k, что выполняется равенство m = nk. В этом случае число n называют делителем числа m, а число mкратным числу n.

Если число m делится на число n, то пишут: m\,\vdots\,n. Например, 91\,\vdots\,7, так как 91=13 \cdot 7, а 115\,\vdots\,5, так как 115 = 23\cdot 5.

Определение. Число p \ge 2 называется простым, если оно делится только на себя и на единицу. Множество простых чисел принято обозначать \mathbb{P}.
Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Например, число 13 — простое, так как оно делится только на 1 и на 13, а число 21 = 3 \cdot 7 — составное.

Определение. Натуральное число k называют общим делителем чисел m и n, если m\,\vdots\,k и n\,\vdots\,k. Наибольшее такое число k называется наибольшим общим делителем m и n и обозначается НОД(m, n) или просто (m, n).

Например, число 4 является общим делителем чисел 24 и 36, а число 6 — их наибольшим общим делителем, то есть НОД(24, 36) = 6.

Определение. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Так, числа 4 и 9 являются взаимно простыми, так как НОД(4, 9) равен единице, а числа 4 и 6 — не являются, так они оба делятся на 2.

Определение. Целое число k называют общим кратным чисел m и n, если k\,\vdots\,m и k\,\vdots\,n. Наименьшее такое число k называется наименьшим общим кратным чисел m и n и обозначается НОК(m, n).

Например, число 48 является общим кратным чисел 6 и 8, а число 24 — их наименьшим общим кратым: НОК(6, 8) = 24.

Основные свойства делимости

Свойство 1. Если целое число m делится на число n, а число n делится на число k, то число m делится на число k.

Свойство 2.Если k — общий делитель чисел m и n, то:
а) числа m+n и m-n делятся на k;
б) число mn делится на k^2.

Следствие. Если одно из чисел m и n делится на k, а второе не делится на k, то числа m + n и m - n не делятся на k.

Свойство 3. Если целое число a делится на взаимно простые числа m и n, то a делится на mn.

Свойство 4. Если число m = ab (a, b — целые) делится на простое число p, то хотя бы одно из чисел a и b делится на p.

Свойство 5. Если число m = ab делится на число n, а число a взаимно просто с числом n, то b делится на n.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 + семнадцать =